Анатолий Капитонович Болдырев родился в уездном городе Грайвороне Курской губернии в семье купца II гильдии. Его родители, Капитон Лукич и Агриппина Григорьевна Болдыревы, до 1861 года были крепостными крестьянами. Окончив в 1901 году Харьковское реальное училище, А. К. Болдырев поступил в Петербургский горный институт.

В 1904 году, в связи с участием в студенческих волнениях, вынужден был временно оставить учёбу. В конце 1910 года за участие в студенческом движении был арестован и административно сослан на три года в Пермскую губернию, сначала в Чердынский край, потом переведен в Нижний Тагил, где служил всю ссылку геологом Нижнетагильского округа.

Весной 1914 года уехал в Петербург и поступил гидрогеологом в отдел земельных улучшений, в течение лета 1914 года работал в Средней Азии в бассейне реки Чу и в районе озера Иссык-Куль. По возвращении из экспедиции в Петроград был мобилизован. После недолгого обучения и работы санитаром попал как нестроевой в химическую лабораторию дымовых завес близ Колпино в качестве химика-лаборанта, служил там до 1917 года.

После, будучи рядовым 3-го железнодорожного батальона, был выбран в Петроградский Совет рабочих и солдатских депутатов. В марте 1917 года вступил в партию Эсеров, из которой вышел сразу после Великой Октябрьской социалистической революции. В 1919 году Анатолий Капитонович окончил Горный институт. В 1921 и 1933 годах дважды был арестован, но оба раза после двухмесячного следствия выпускался на свободу.

7 октября 1938 года Болдырев был арестован в Ленинграде, затем осужден Особым Совещанием по статье АСО 26 июля 1939 года на 5 лет без поражения прав, прибыл на Колыму 5 ноября 1939 года и был освобожден 26 октября 1943 года. Поводом для ареста и осуждения А. К. Болдырева явилось то, что в 1926 году он был командирован на три месяца в Испанию, на Международный геологический конгресс в Германию для работы в рентгеновской лаборатории.

Высказывается мнение, что причиной ареста Болдырева послужил донос коллег, завидовавших успеху учёного. Именно в этот период имя Болдырева как крупнейшего кристаллографа страны стало широко известно за границей. Его статьи печатались в иностранных научных журналах, он участвовал в международных геологических конгрессах, посетил Испанию, Германию, где завоевал мировое признание в области кристаллографии, а французские ученые избрали его иностранным членом Французского минералогического общества.

На Колыме Болдырев первоначально был направлен на строительство Усть-Тасканской электростанции, на рытье котлована. С 18 ноября 1940 года, отбывая наказание, работал в Геологоразведочном управлении Дальстроя в должности инженера-геолога. После освобождения из лагеря в октябре 1943 года Болдырев работал в качестве старшего геолога и консультанта научно-исследовательского отдела Дальстроя. 25 марта 1946 года Анатолий Капитонович Болдырев погиб. Автомобиль, в котором он ехал в поселок Ола, провалился под лёд. Шофёр не смог выбраться из машины и утонул, а Анатолий Капитонович, сумев выбраться, замёрз, не добравшись до населённого пункта.