Родился Г. И. Угрюмов в семье купца-жестянщика. Отец его, будучи родом из Ярославской губернии, обладал незаурядными способностями, которые выдвинули его в число депутатов по составлению нового Уложения.
Заметив в сыне художественные наклонности, он отвез мальчика в Петербург и определил в 1770 г. в Воспитательное училище при АХ.
Еще на академической скамье Угрюмов проявил себя как талантливый рисовальщик. Наставниками его были исторические живописцы П. И. Соколов, Г. И. Козлов и И. А. Акимов.
Работы юного художника имели успех и даже продавались на академических аукционах (панно "Детские вакханалии", "Смерть Лукреции", оба 1783).
В 1785 г. Угрюмов получил большую золотую медаль за программную помпозицию "Изгнанная Агарь с малолетним сыном Измаилом в пустыне" (1785) и в качестве пенсионера был отправлен на четыре года в Италию. Там, делая рисунки с античной скульптуры и живописных полотен эпохи Возрождения (в частности, с картины П. Веронезе "Похищение Европы"), художник добился значительных успехов.
Вскоре после возвращения на родину, в 1791 г., Угрюмов был назначен преподавателем класса исторической живописи АХ.
В 1793 г. по заказу Екатерины II он создал большое историческое полотно "Торжественный въезд Александра Невского в город Псков после одержанной им победы над немецкими рыцарями". Картина предназначалась для Александро-Невской лавры и более ста лет находилась в Троицком соборе лавры (ныне в ГРМ). Эта многофигурная композиция, олицетворяющая апофеоз русского князя и его дружины, выполнена в традициях классицизма. Одним из ее достоинств было стремление художника к исторической достоверности: кольчуги, латы воинов и одежды псковских жителей переданы с убедительной точностью.
Заборонено